Номер 179, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 179, страница 52.

Условие.

179* На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $\angle PXB = \angle QXC$, где $X$ — середина основания $BC$. Докажите, что $BQ=CP$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства отрезков $BQ$ и $CP$ воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников.

1. Докажем, что $\triangle PXB = \triangle QXC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$.

• Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Точки $P$ и $Q$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, поэтому $\angle PBX = \angle QCX$.
• По условию, $X$ — середина основания $BC$, следовательно, $BX = CX$.
• Также по условию дано, что $\angle PXB = \angle QXC$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для $\triangle PXB$ справедливо: $\angle BPX = 180^\circ - \angle PBX - \angle PXB$. Для $\triangle QXC$ справедливо: $\angle CQX = 180^\circ - \angle QCX - \angle QXC$.

Так как из предыдущих пунктов мы знаем, что $\angle PBX = \angle QCX$ и $\angle PXB = \angle QXC$, то, сравнивая выражения для углов $\angle BPX$ и $\angle CQX$, получаем, что $\angle BPX = \angle CQX$.

Теперь мы имеем достаточно данных для доказательства равенства треугольников $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$:

• $\angle PBX = \angle QCX$ (углы при основании равнобедренного треугольника)
• $BX = CX$ (так как X — середина BC)
• $\angle BPX = \angle CQX$ (доказано выше)

Треугольники $\triangle PXB$ и $\triangle QXC$ равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников, если учесть, что равенство двух углов влечет равенство и третьего угла). Более точно, треугольники равны по стороне ($BX=CX$) и двум углам, один из которых прилежащий к стороне ($\angle PBX$, $\angle QCX$), а другой противолежащий ей ($\angle BPX$, $\angle CQX$).

Из равенства треугольников $\triangle PXB = \triangle QXC$ следует равенство их соответственных сторон: $PB = QC$ и $PX = QX$.

2. Докажем, что $BQ = CP$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle CPB$ и $\triangle BQC$.

• $BC$ — общая сторона.
• $PB = QC$ (доказано в предыдущем пункте).
• $\angle PBC = \angle QCB$ (это углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$).

Таким образом, $\triangle CPB = \triangle BQC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Из равенства треугольников $\triangle CPB$ и $\triangle BQC$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, сторона $CP$ из $\triangle CPB$ соответствует стороне $BQ$ из $\triangle BQC$. Следовательно, $CP = BQ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BQ=CP$ доказано.