Номер 175, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Треугольники. Параграф 4. Задачи на построение - номер 175, страница 52.

Условие.

175* На сторонах угла XOY отмечены точки A, B, C и D так, что $OA=OB$, $AC=BD$ (рис. 97). Прямые AD и BC пересекаются в точке E. Докажите, что луч OE — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Рис. 97

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что луч OE — биссектриса угла XOY.

Для доказательства того, что луч OE является биссектрисой угла $\angle XOY$, нам нужно доказать равенство углов $\angle AOE$ и $\angle BOE$. Мы сделаем это в несколько шагов, доказывая равенство нескольких пар треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OBC$.
По условию задачи дано, что $OA = OB$ и $AC = BD$.
Поскольку точки A и C лежат на луче OX, а точки B и D — на луче OY, мы можем выразить длины отрезков $OC$ и $OD$ следующим образом: $OC = OA + AC$ и $OD = OB + BD$.
Так как правые части этих равенств равны ($OA = OB$ и $AC = BD$), то равны и левые: $OC = OD$.
Теперь сравним треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OBC$. В них:

• $OA = OB$ (по условию);
• $OD = OC$ (как доказано выше);
• $\angle XOY$ — общий угол.

Следовательно, $\triangle OAD \cong \triangle OBC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle OAD = \angle OBC$ и $\angle ODA = \angle OCB$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ACE$ и $\triangle BDE$.
Углы $\angle EAC$ и $\angle OAD$ являются смежными, так как точки O, A, C лежат на одной прямой (луче OX). Поэтому $\angle EAC = 180^\circ - \angle OAD$.
Аналогично, углы $\angle EBD$ и $\angle OBC$ являются смежными, так как точки O, B, D лежат на одной прямой (луче OY), поэтому $\angle EBD = 180^\circ - \angle OBC$.
Так как из предыдущего пункта $\angle OAD = \angle OBC$, то и смежные с ними углы равны: $\angle EAC = \angle EBD$.
Теперь сравним треугольники $\triangle ACE$ и $\triangle BDE$. В них:

• $AC = BD$ (по условию);
• $\angle EAC = \angle EBD$ (как доказано выше);
• $\angle ACE = \angle BDE$ (это те же углы, что $\angle OCB$ и $\angle ODA$, равенство которых было доказано ранее).

Следовательно, $\triangle ACE \cong \triangle BDE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AE = BE$.

3. Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle OAE$ и $\triangle OBE$.

• $OA = OB$ (по условию);
• $AE = BE$ (как доказано выше);
• $OE$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle OAE \cong \triangle OBE$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOE = \angle BOE$.
Это означает, что луч OE делит угол $\angle XOY$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что луч OE является биссектрисой угла XOY.

Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Способ построения биссектрисы угла $\angle XOY$ с помощью циркуля и линейки, основанный на доказанном факте, состоит из следующих шагов:

1. Из вершины угла O, используя циркуль, отложить на его сторонах равные отрезки $OA$ и $OB$. Для этого нужно провести дугу произвольного радиуса с центром в O, которая пересечет лучи OX и OY в точках A и B.
2. На лучах OX и OY отложить от точек A и B соответственно равные отрезки $AC$ и $BD$ (так, чтобы точки C и D были дальше от вершины O, чем A и B). Для этого нужно выбрать произвольный раствор циркуля, поставить иглу в точку A и сделать засечку C на луче OX, а затем, не меняя раствора, поставить иглу в точку B и сделать засечку D на луче OY.
3. С помощью линейки соединить точку A с точкой D и точку B с точкой C.
4. Точку пересечения полученных отрезков AD и BC обозначить как E.
5. Провести луч OE.

Согласно доказанному, луч OE будет являться биссектрисой угла $\angle XOY$.
Ответ: Способ построения заключается в последовательном откладывании на сторонах угла двух пар равных отрезков ($OA=OB$ и $AC=BD$), соединении точек "крест-накрест" (A c D, B c C) и проведении луча из вершины угла через точку пересечения этих отрезков.