Номер 191, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 1. Признаки параллельности прямых - номер 191, страница 56.

Условие.

191 Отрезок $BK$ — биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $K$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM = MK$. Докажите, что прямые $KM$ и $AB$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $BMK$. По условию задачи, $BM = MK$. Это означает, что треугольник $BMK$ является равнобедренным с основанием $BK$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle MBK = \angle MKB$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то угол $\angle MBK$ является тем же углом, что и $\angle KBC$. Таким образом, можно записать: $\angle KBC = \angle MKB$.

По условию, $BK$ — биссектриса угла $ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, то есть $\angle ABK = \angle KBC$.

Сопоставив два полученных равенства:
1) $\angle KBC = \angle MKB$
2) $\angle ABK = \angle KBC$
мы приходим к выводу, что $\angle ABK = \angle MKB$.

Углы $\angle ABK$ и $\angle MKB$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $KM$ секущей $BK$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Так как $\angle ABK = \angle MKB$, то прямые $AB$ и $KM$ параллельны ($AB \parallel KM$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Прямые $KM$ и $AB$ параллельны.