Номер 20, страница 12 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 3. Сравнение отрезков и углов - номер 20, страница 12.

Условие.

20 На рисунке 25 отрезки $AB, BC, CD$ и $DE$ равны. Укажите:

а) середины отрезков $AC, AE$ и $CE$;

б) отрезок, серединой которого является точка $D$;

в) отрезки, серединой которых является точка $C$.

Рис. 25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ равны. Обозначим их длину переменной $x$, тогда $AB = BC = CD = DE = x$.

а)

Чтобы найти середину отрезка, нужно найти точку, которая делит его на две равные части. Для этого сначала вычислим длины указанных отрезков.

Длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$: $AC = AB + BC = x + x = 2x$. Середина отрезка $AC$ находится на расстоянии $AC/2 = 2x/2 = x$ от точки $A$. Так как $AB = x$, то точка $B$ является серединой отрезка $AC$.

Длина отрезка $AE$ равна сумме длин всех четырех отрезков: $AE = AB + BC + CD + DE = x + x + x + x = 4x$. Середина отрезка $AE$ находится на расстоянии $AE/2 = 4x/2 = 2x$ от точки $A$. Расстояние от $A$ до $C$ равно $AC = AB + BC = 2x$. Следовательно, точка $C$ является серединой отрезка $AE$.

Длина отрезка $CE$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $DE$: $CE = CD + DE = x + x = 2x$. Середина отрезка $CE$ находится на расстоянии $CE/2 = 2x/2 = x$ от точки $C$. Так как $CD = x$, то точка $D$ является серединой отрезка $CE$.

Ответ: середина отрезка $AC$ — точка $B$; середина отрезка $AE$ — точка $C$; середина отрезка $CE$ — точка $D$.

б)

Нужно найти отрезок, серединой которого является точка $D$. Это значит, что точка $D$ должна быть равноудалена от концов этого отрезка. Найдем расстояния от точки $D$ до других точек на прямой: расстояние до точки $C$ равно $DC = x$, а расстояние до точки $E$ равно $DE = x$. Поскольку $DC = DE$, точка $D$ является серединой отрезка $CE$.

Ответ: отрезок $CE$.

в)

Нужно найти отрезки, серединой которых является точка $C$. Точка $C$ должна быть равноудалена от концов каждого такого отрезка. Рассмотрим точки, симметричные относительно точки $C$.

Во-первых, найдем точки на расстоянии $x$ от $C$. Слева от $C$ это точка $B$ ($CB=x$), а справа — точка $D$ ($CD=x$). Так как $CB = CD$, точка $C$ является серединой отрезка $BD$.

Во-вторых, найдем точки на расстоянии $2x$ от $C$. Слева от $C$ это точка $A$ ($CA = CB + BA = x + x = 2x$), а справа — точка $E$ ($CE = CD + DE = x + x = 2x$). Так как $CA = CE$, точка $C$ является серединой отрезка $AE$.

Ответ: отрезки $BD$ и $AE$.