Номер 23, страница 13 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 3. Сравнение отрезков и углов - номер 23, страница 13.

Условие.

23 □ На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите:

а) биссектрису каждого из углов $AOC$, $BOF$, $AOE$;

б) все углы, биссектрисой которых является луч $OC$.

Рис. 26

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи все углы, обозначенные цифрами (1, 2, 3, 4, 5), равны. Обозначим величину каждого из этих углов как $ \alpha $.

Таким образом, $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \alpha $.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

а)

Найдем биссектрису для каждого из указанных углов.

Для угла $ \angle AOC $: Этот угол состоит из двух углов: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $. Так как $ \angle AOB = \alpha $ и $ \angle BOC = \alpha $, то $ \angle AOB = \angle BOC $. Следовательно, луч OB делит угол $ \angle AOC $ на две равные части и является его биссектрисой.

Для угла $ \angle BOF $: Этот угол состоит из четырех углов: $ \angle BOF = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF = \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 4\alpha $. Биссектриса должна делить его на два равных угла величиной $ 2\alpha $. Найдем луч, который проходит внутри угла $ \angle BOF $ и делит его пополам. Рассмотрим углы, которые образует луч OD: $ \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = \alpha + \alpha = 2\alpha $. $ \angle DOF = \angle DOE + \angle EOF = \alpha + \alpha = 2\alpha $. Так как $ \angle BOD = \angle DOF $, луч OD является биссектрисой угла $ \angle BOF $.

Для угла $ \angle AOE $: Этот угол состоит из четырех углов: $ \angle AOE = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = \alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 4\alpha $. Биссектриса также должна делить его на два равных угла величиной $ 2\alpha $. Рассмотрим углы, которые образует луч OC: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha $. $ \angle COE = \angle COD + \angle DOE = \alpha + \alpha = 2\alpha $. Так как $ \angle AOC = \angle COE $, луч OC является биссектрисой угла $ \angle AOE $.

Ответ: биссектриса угла $ \angle AOC $ — луч OB; биссектриса угла $ \angle BOF $ — луч OD; биссектриса угла $ \angle AOE $ — луч OC.

б)

Найдем все углы, для которых луч OC является биссектрисой. Это означает, что луч OC должен делить искомый угол на два равных угла.

1. Рассмотрим угол $ \angle BOD $. Он состоит из углов $ \angle BOC $ и $ \angle COD $. По условию $ \angle BOC = \alpha $ и $ \angle COD = \alpha $. Так как эти углы равны, луч OC является биссектрисой угла $ \angle BOD $.

2. Рассмотрим угол $ \angle AOE $. Он состоит из углов $ \angle AOC $ и $ \angle COE $. Как мы выяснили в пункте а), $ \angle AOC = 2\alpha $ и $ \angle COE = 2\alpha $. Так как эти углы равны, луч OC является биссектрисой угла $ \angle AOE $.

Других углов, для которых OC был бы биссектрисой, на рисунке нет, так как для этого необходимо, чтобы по обе стороны от луча OC было равное количество "малых" углов $ \alpha $.

Ответ: луч OC является биссектрисой углов $ \angle BOD $ и $ \angle AOE $.