Номер 220, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 220, страница 68.

Условие.

220 Докажите, что если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть даны две прямые a и b, которые пересечены третьей прямой (секущей) c. При этом образуется пара накрест лежащих углов, которые мы обозначим как $\angle 1$ и $\angle 2$.

По условию задачи нам дано, что накрест лежащие углы не равны, то есть $\angle 1 \neq \angle 2$.

Требуется доказать, что прямые a и b пересекаются.

Предположим обратное тому, что требуется доказать: пусть прямые a и b не пересекаются. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, мы делаем предположение, что $a \parallel b$.

Теперь рассмотрим следствие из нашего предположения. Существует признак параллельности прямых (и обратная ему теорема о свойствах параллельных прямых), который гласит: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Исходя из нашего предположения, что $a \parallel b$, должно выполняться равенство: $\angle 1 = \angle 2$.

Однако этот вывод ($\angle 1 = \angle 2$) напрямую противоречит исходному условию задачи, согласно которому $\angle 1 \neq \angle 2$.

Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые a и b не могут быть параллельны.

По определению, две прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются. Поскольку мы доказали, что прямые a и b не параллельны, они должны пересекаться. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если предположить, что прямые a и b не пересекаются (то есть параллельны), то из свойства параллельных прямых следует, что накрест лежащие углы должны быть равны. Это противоречит условию задачи, в котором указано, что данные углы не равны. Следовательно, исходное предположение неверно, и прямые a и b пересекаются.