Номер 227, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 227, страница 71.

Условие.

227 ☐ Найдите углы равнобедренного треугольника, если:

а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию;

б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть в равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $x$. По условию, угол при основании в два раза больше угла при вершине, то есть равен $2x$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, у нас есть два угла по $2x$ и один угол $x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $36^\circ$.

Углы при основании равны:

$2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

б)

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $y$. Внешний угол треугольника, смежный с углом при основании, равен сумме двух других внутренних углов. Но проще использовать свойство смежных углов: сумма внутреннего и смежного с ним внешнего угла равна $180^\circ$. Значит, внешний угол равен $180^\circ - y$.

По условию задачи, угол при основании в три раза меньше смежного с ним внешнего угла. Это можно записать как уравнение:

$180^\circ - y = 3y$

Решим это уравнение:

$180^\circ = 3y + y$

$180^\circ = 4y$

$y = \frac{180^\circ}{4}$

$y = 45^\circ$

Итак, каждый из двух углов при основании равен $45^\circ$.

Найдем третий угол (угол при вершине), зная, что сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$:

$180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Проверка: угол при основании $45^\circ$. Смежный внешний угол $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. $135^\circ / 45^\circ = 3$, что соответствует условию.

Ответ: $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$.