Номер 222, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 222, страница 68.

Условие.

222 Даны прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку $A$ проведите прямую, параллельную прямой $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы с помощью циркуля и линейки провести через точку $A$ прямую, параллельную прямой $a$, можно использовать метод построения параллелограмма. Алгоритм действий следующий:

Построение

1. На прямой $a$ выбрать произвольную точку $B$.
2. Выбрать на прямой $a$ еще одну произвольную точку $C$.
3. Измерить циркулем расстояние между точками $B$ и $C$.
4. Не меняя раствора циркуля, провести дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $BC$.
5. Измерить циркулем расстояние между точками $A$ и $B$.
6. Не меняя раствора циркуля, провести дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $AB$.
7. Точку пересечения дуг, построенных в шагах 4 и 6, обозначить как $D$.
8. С помощью линейки провести прямую через точки $A$ и $D$.

Полученная прямая $AD$ будет параллельна прямой $a$.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $BCDA$. По нашему построению:

• Длина стороны $AD$ равна длине отрезка $BC$ (по построению в шаге 4).
• Длина стороны $CD$ равна длине отрезка $AB$ (по построению в шаге 6).

Таким образом, в четырехугольнике $BCDA$ противолежащие стороны попарно равны ($AD = BC$ и $CD = AB$). Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Из того, что $BCDA$ — параллелограмм, следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Поскольку точки $B$ и $C$ лежат на прямой $a$, то отрезок $BC$ также лежит на прямой $a$. Следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Вышеописанный алгоритм построения позволяет провести искомую прямую, параллельную данной, через заданную точку.