Номер 216, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 216, страница 67.

Условие.

216 На рисунке 124 $DE$ — биссектриса угла $ADF$. По данным рисунка найдите углы треугольника $ADE$.

Рис. 124

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи необходимо последовательно найти все три угла треугольника $ADE$, используя данные рисунка и геометрические свойства.

В первую очередь установим, что прямые, на которых лежат стороны $AE$ и $DF$, параллельны. На рисунке показана секущая, которая образует с этими прямыми внутренние односторонние углы $78^\circ$ и $102^\circ$. Найдем их сумму:

$78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Следовательно, $AE \parallel DF$.

Нахождение угла $\angle DAE$

Рассмотрим параллельные прямые $AE$ и $DF$, пересеченные секущей $AD$. Угол $\angle DAE$ и угол при вершине $D$, равный $48^\circ$ (угол между секущей $AD$ и прямой $DF$), являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые $AE$ и $DF$ параллельны, эти углы равны.

$\angle DAE = 48^\circ$.

Нахождение угла $\angle ADE$

Угол, равный $48^\circ$, и угол $\angle ADF$ являются смежными, так как вместе они составляют развернутый угол на прямой $DF$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle ADF = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Согласно условию, луч $DE$ является биссектрисой угла $\angle ADF$, а значит, делит его на два равных угла.

$\angle ADE = \frac{1}{2} \angle ADF = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ$.

Нахождение угла $\angle AED$

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ADE$ справедливо равенство:

$\angle DAE + \angle ADE + \angle AED = 180^\circ$.

Мы уже определили, что $\angle DAE = 48^\circ$ и $\angle ADE = 66^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$48^\circ + 66^\circ + \angle AED = 180^\circ$.

$114^\circ + \angle AED = 180^\circ$.

$\angle AED = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ADE$ равны: $\angle DAE = 48^\circ$, $\angle ADE = 66^\circ$, $\angle AED = 66^\circ$.