Номер 221, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 221, страница 68.

Условие.

221 Даны треугольник $ABC$ и точки $M$ и $N$ такие, что середина отрезка $BM$ совпадает с серединой стороны $AC$, а середина отрезка $CN$ — с серединой стороны $AB$. Докажите, что точки $M$, $N$ и $A$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства используем геометрический подход с элементами векторной алгебры.

Пусть $K$ — середина стороны $AC$, а $L$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$.

По первому условию задачи, середина отрезка $BM$ совпадает с серединой стороны $AC$, то есть с точкой $K$. Таким образом, точка $K$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BM$. Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его диагонали $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$ и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCM$ является параллелограммом. Из этого следует, что его противоположные стороны параллельны и равны, что в векторной форме записывается как $\vec{AM} = \vec{BC}$.

По второму условию, середина отрезка $CN$ совпадает с серединой стороны $AB$, то есть с точкой $L$. Значит, точка $L$ является серединой и отрезка $AB$, и отрезка $CN$. Рассмотрим четырехугольник $ACBN$. Его диагонали $AB$ и $CN$ пересекаются в точке $L$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ACBN$ также является параллелограммом. Отсюда получаем, что $\vec{AN} = \vec{CB}$.

Теперь сравним полученные векторные равенства:
1) $\vec{AM} = \vec{BC}$
2) $\vec{AN} = \vec{CB}$

Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$ являются противоположными, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Подставив это в равенство (2), получим $\vec{AN} = -\vec{BC}$. Теперь, используя равенство (1), можем записать: $\vec{AN} = -\vec{AM}$.

Равенство $\vec{AN} = -\vec{AM}$ означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$ коллинеарны (противоположно направлены). Поскольку эти векторы имеют общее начало — точку $A$, то их концы ($M$ и $N$) вместе с началом ($A$) лежат на одной прямой.

Ответ: доказано.