Номер 219, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 219, страница 67.

Условие.

219* □ Даны две прямые $a$ и $b$. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются в одной точке. Обозначим точку их пересечения как $M$. Таким образом, $a \cap b = \{M\}$.

Поскольку $a$ и $b$ — это две различные прямые ($a \neq b$), на прямой $a$ можно выбрать точку $A$, не совпадающую с точкой $M$. Так как точка $A$ лежит на прямой $a$, но не является точкой пересечения, она не лежит на прямой $b$ (то есть $A \in a$, но $A \notin b$).

Согласно аксиоме о параллельных прямых (пятому постулату Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведём через нашу точку $A$ прямую $c$, параллельную прямой $b$.

Рассмотрим построенную прямую $c$:

1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$. Это следует из построения, так как они имеют общую точку $A$.
2. Прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Это следует из построения, так как мы провели $c \parallel b$, а параллельные прямые по определению не пересекаются.

Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.