Номер 17, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 17, страница 67.

Условие.

17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны (если они оба острые или оба тупые), либо их сумма равна $180^\circ$ (если один из углов острый, а другой — тупой).

Доказательство теоремы

Пусть даны два угла, $\angle 1$ и $\angle 2$, стороны которых соответственно перпендикулярны. Обозначим их величины как $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим два случая, описанные в теореме.

1. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ оба острые или оба тупые.

Пусть $\angle AOB$ – это угол $\angle 1$, а $\angle A_1O_1B_1$ – это угол $\angle 2$. По условию, $OA \perp O_1A_1$ и $OB \perp O_1B_1$.

Совместим вершину $O_1$ с вершиной $O$, а сторону $O_1A_1$ направим по лучу $OC$, перпендикулярному лучу $OA$. Сторона $O_1B_1$ при этом будет направлена по лучу $OD$, перпендикулярному лучу $OB$. Получим угол $\angle COD$, равный углу $\angle A_1O_1B_1$. Нам нужно доказать, что $\angle AOB = \angle COD$.

Так как оба угла по условию являются острыми (или оба тупыми), то лучи $OC$ и $OD$ получаются из лучей $OA$ и $OB$ поворотом на $90^\circ$ в одну и ту же сторону (например, оба против часовой стрелки).

Рассмотрим поворот плоскости на $90^\circ$ вокруг точки $O$. При таком повороте луч $OA$ перейдет в луч $OC$, а луч $OB$ — в луч $OD$. Поскольку поворот является движением, он сохраняет углы. Следовательно, угол $\angle AOB$ при повороте отобразится на угол $\angle COD$.

Таким образом, их величины равны: $\angle AOB = \angle COD$. А так как $\angle COD = \angle A_1O_1B_1$, то и $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

Итак, если углы одного типа, они равны. Что и требовалось доказать.

2. Один угол острый, а другой тупой.

Пусть $\angle AOB = \alpha$ — острый угол, а $\angle A_1O_1B_1 = \beta$ — тупой угол. Стороны углов соответственно перпендикулярны: $OA \perp O_1A_1$ и $OB \perp O_1B_1$.

Построим угол, смежный с углом $\angle AOB$. Для этого продлим луч $OA$ за вершину $O$ и получим луч $OC$. Угол $\angle COB$ является смежным с углом $\angle AOB$, следовательно, его величина равна $180^\circ - \alpha$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то угол $\angle COB$ является тупым ($90^\circ < 180^\circ - \alpha < 180^\circ$).

Теперь сравним два тупых угла: $\angle COB$ и $\angle A_1O_1B_1$.

Стороны угла $\angle COB$ — это лучи $OC$ и $OB$. Стороны угла $\angle A_1O_1B_1$ — это лучи $O_1A_1$ и $O_1B_1$.

По условию, $OA \perp O_1A_1$. Так как луч $OC$ лежит на одной прямой с лучом $OA$, то и $OC \perp O_1A_1$.

Также по условию $OB \perp O_1B_1$.

Получается, что у нас есть два тупых угла ($\angle COB$ и $\angle A_1O_1B_1$), стороны которых соответственно перпендикулярны. Согласно доказанному в первом случае, такие углы равны:

$\angle A_1O_1B_1 = \angle COB$

Подставляя известные величины углов, получаем:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

Отсюда следует, что $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Итак, если один угол острый, а другой тупой, их сумма равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Теорема полностью доказана.

Ответ: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны (если они оба острые или оба тупые), либо в сумме составляют $180^\circ$ (если один из них острый, а другой тупой).