Номер 10, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 10, страница 66.

Условие.

10 Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какое утверждение называется следствием?

Следствием из теоремы или аксиомы называется утверждение, которое выводится непосредственно из этой теоремы или аксиомы без дополнительных сложных доказательств.

Ответ: Утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы, называется следствием.

Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Данное утверждение является следствием из аксиомы о параллельных прямых. Доказательство проведем методом от противного.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$ ($c \cap a = M$).

Доказать:
Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:
Предположим обратное: прямая $c$ не пересекает прямую $b$. По определению параллельных прямых, это означает, что прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Таким образом, мы получили, что через точку $M$, которая не лежит на прямой $b$, проходят две различные прямые, $a$ и $c$, каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это противоречит аксиоме о параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного на основании аксиомы о параллельных прямых.