Номер 4, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 4, страница 66.

Условие.

4 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть две прямые a и b пересечены третьей прямой (секущей) c. Для доказательства утверждения нам нужно показать, что из равенства соответственных углов следует параллельность прямых a и b.

Обозначим одну пару соответственных углов как $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, эти углы равны: $\angle 1 = \angle 2$.

Рассмотрим угол, вертикальный углу $\angle 1$. Обозначим его $\angle 3$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой. Таким образом, $\angle 1 = \angle 3$.

Теперь у нас есть система из двух равенств:
1) $\angle 1 = \angle 2$ (по условию, так как это соответственные углы).
2) $\angle 1 = \angle 3$ (по свойству вертикальных углов).

Из этих двух равенств логически следует, что $\angle 2 = \angle 3$.

Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими при пересечении прямых a и b секущей c.

Воспользуемся одним из признаков параллельности прямых, который гласит: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что накрест лежащие углы $\angle 2$ и $\angle 3$ равны, мы можем утверждать, что прямые a и b параллельны: $a \parallel b$.

Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то из этого следует равенство накрест лежащих углов (через свойство вертикальных углов). А равенство накрест лежащих углов является достаточным условием (признаком) параллельности прямых.