Номер 211, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 211, страница 66.

Условие.

211 □ Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что:

а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;

б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), которые пересечены секущей $c$. Образуются накрест лежащие углы, которые мы обозначим как $\angle 1$ и $\angle 2$.

Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, то есть $\angle 1 = \angle 2$.

Проведем биссектрисы $l_1$ и $l_2$ углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. Биссектриса делит угол на две равные части. Таким образом, биссектриса $l_1$ делит угол $\angle 1$ на два угла, каждый из которых равен $\frac{\angle 1}{2}$. Аналогично, биссектриса $l_2$ делит угол $\angle 2$ на два угла по $\frac{\angle 2}{2}$.

Рассмотрим углы, которые биссектрисы $l_1$ и $l_2$ образуют с секущей $c$. Эти углы равны $\frac{\angle 1}{2}$ и $\frac{\angle 2}{2}$ соответственно. Для прямых $l_1$ и $l_2$ и секущей $c$ эти углы также являются накрест лежащими.

Так как $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны:

$\frac{\angle 1}{2} = \frac{\angle 2}{2}$

По признаку параллельности двух прямых, если при их пересечении секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Поскольку накрест лежащие углы для прямых $l_1$ и $l_2$ равны, мы можем заключить, что $l_1 \parallel l_2$.

Таким образом, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть снова даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), пересеченные секущей $c$. Теперь рассмотрим пару односторонних углов, которые мы обозначим как $\angle 3$ и $\angle 4$.

Согласно свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы $m_1$ и $m_2$ углов $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно. Пусть точка их пересечения — точка $K$. Отрезок секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$ и отрезки биссектрис $m_1$ и $m_2$ до точки $K$ образуют треугольник.

Углы этого треугольника при основании (на секущей $c$) равны половинам односторонних углов, так как они образованы биссектрисами. То есть, эти углы равны $\frac{\angle 3}{2}$ и $\frac{\angle 4}{2}$.

Третий угол треугольника, при вершине $K$, является углом между биссектрисами $m_1$ и $m_2$. Обозначим его $\angle K$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для нашего треугольника это записывается так:

$\frac{\angle 3}{2} + \frac{\angle 4}{2} + \angle K = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{\angle 3 + \angle 4}{2} + \angle K = 180^\circ$

Мы знаем, что $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{180^\circ}{2} + \angle K = 180^\circ$

$90^\circ + \angle K = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle K$:

$\angle K = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между биссектрисами $m_1$ и $m_2$ равен $90^\circ$, это означает, что биссектрисы перпендикулярны ($m_1 \perp m_2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.