Номер 210, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 210, страница 66.

Условие.

210 Два тела $P_1$ и $P_2$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $B$ (рис. 121).

Третье тело $P_3$ подвешено к той же нити в точке $C$ и уравновешивает тела $P_1$ и $P_2$.

(При этом $AP_1 \parallel BP_2 \parallel CP_3$.) Докажите, что

$\angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2$.

Рис. 121

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Построим доказательство, используя свойства параллельных прямых и секущих.

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямым $AP_1$ и $BP_2$ (которые параллельны между собой по условию $AP_1 \parallel BP_2 \parallel CP_3$). Эта прямая, содержащая отрезок $CP_3$, разделит угол $\angle ACB$ на два угла. Обозначим их как $\angle ACD$ и $\angle BCD$, где луч $CD$ является продолжением луча $CP_3$ вверх. Тогда $\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $AP_1$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $\angle CAP_1$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны.
Следовательно, $ \angle ACD = \angle CAP_1 $.

2. Рассмотрим параллельные прямые $BP_2$ и $CD$ и секущую $BC$. Углы $\angle CBP_2$ и $\angle BCD$ также являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, они тоже равны.
Следовательно, $ \angle BCD = \angle CBP_2 $.

3. Теперь подставим полученные равенства в выражение для угла $\angle ACB$:
$ \angle ACB = \angle ACD + \angle BCD = \angle CAP_1 + \angle CBP_2 $.

Таким образом, равенство $ \angle ACB = \angle CAP_1 + \angle CBP_2 $ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.