Номер 212, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 212, страница 66.

Условие.

212. Прямые, содержащие высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$, угол $B$ — тупой, $\angle C = 20^\circ$. Найдите угол $AHB$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $AA_1$ и $BB_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно. Точка $H$ — это точка пересечения прямых, содержащих эти высоты (ортоцентр треугольника).

По условию, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$.

Рассмотрим четырехугольник $CB_1HA_1$. В нем:

• Угол $\angle CB_1H = 90^\circ$, так как $BB_1$ — высота к стороне $AC$.
• Угол $\angle CA_1H = 90^\circ$, так как $AA_1$ — высота к стороне $BC$.

Сумма двух углов $\angle CB_1H + \angle CA_1H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Однако, для доказательства того, что четырехугольник вписанный, удобнее заметить, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности, построенной на отрезке $CH$ как на диаметре (поскольку из этих точек отрезок $CH$ виден под прямым углом). Следовательно, точки $C, B_1, H, A_1$ лежат на одной окружности, и четырехугольник $CB_1HA_1$ является вписанным в окружность.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle A_1HB_1$ и $\angle A_1CB_1$ опираются на одну и ту же дугу $A_1B_1$. Поскольку в тупоугольном треугольнике (с тупым углом $B$) вершины $C$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $A_1B_1$, эти углы равны:

$\angle A_1HB_1 = \angle A_1CB_1$

Угол $\angle A_1CB_1$ — это угол между прямыми $CA_1$ (которая является прямой $BC$) и $CB_1$ (которая является прямой $AC$). Таким образом, $\angle A_1CB_1$ — это в точности угол $C$ треугольника $ABC$.

По условию, $\angle C = 20^\circ$. Значит, $\angle A_1HB_1 = 20^\circ$.

Углы $\angle AHB$ и $\angle A_1HB_1$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, они равны.

$\angle AHB = \angle A_1HB_1 = 20^\circ$.

Ответ: 20°.