Номер 7, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 7, страница 66.

Условие.

7 Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Объясните, какие утверждения называются аксиомами

Аксиома — это исходное, фундаментальное утверждение в рамках какой-либо научной теории (например, в математике, логике или физике), которое принимается как истинное без необходимости доказательства. Аксиомы служат отправной точкой, или фундаментом, на котором с помощью правил логического вывода строятся все последующие утверждения, называемые теоремами.

Основные свойства системы аксиом:

• Непротиворечивость: из аксиом нельзя вывести два противоречащих друг другу утверждения (например, $A$ и не-$A$).
• Независимость: ни одна из аксиом не может быть логически выведена из остальных. Это свойство является желательным, но не обязательным.
• Полнота: любая правильно сформулированная в рамках теории формула может быть либо доказана, либо опровергнута с помощью аксиом.

Таким образом, аксиомы можно сравнить с "правилами игры", которые принимаются по соглашению, чтобы иметь возможность строить логические рассуждения и получать новые знания в определённой области.

Ответ: Аксиомами называются исходные утверждения научной теории, которые принимаются истинными без доказательств и служат основой для вывода всех остальных утверждений (теорем).

Приведите примеры аксиом

Примеры аксиом из различных областей математики:

• Геометрия Евклида:
  • Через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.
  • Пятый постулат (аксиома о параллельных прямых): через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
• Теория множеств (Аксиоматика Цермело — Френкеля):
  • Аксиома объёмности: два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Формально: $A = B \iff (\forall x (x \in A \iff x \in B))$.
  • Аксиома существования пустого множества: существует множество, в котором нет ни одного элемента.
• Арифметика (Аксиомы Пеано для натуральных чисел):
  • $0$ — натуральное число.
  • Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом.
  • $0$ не следует ни за каким натуральным числом.

Ответ: Примеры аксиом: 1) через две точки проходит единственная прямая (геометрия); 2) существует пустое множество (теория множеств); 3) $0$ является натуральным числом (арифметика).