Номер 8, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 8, страница 66.

Условие.

8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$). Требуется доказать, что существует прямая $b$, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $a$.

Доказательство:

Доказательство основано на методе построения. Все построения выполняются в плоскости, определяемой прямой $a$ и точкой $M$.

1. Из точки $M$ опустим перпендикуляр на прямую $a$. Обозначим эту перпендикулярную прямую как $c$. Точку их пересечения назовем $H$. Таким образом, по построению, прямая $c$ перпендикулярна прямой $a$ ($c \perp a$).
2. Через точку $M$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $c$. Построение такой прямой в плоскости возможно, и она единственна.

В результате мы получили две прямые, $a$ и $b$, которые обе перпендикулярны третьей прямой $c$.

Согласно признаку параллельности прямых: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, из того, что $a \perp c$ и $b \perp c$, следует, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

По нашему построению, прямая $b$ проходит через данную точку $M$. Таким образом, мы построили прямую $b$, которая проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$. Существование такой прямой доказано.

Ответ: Существование прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, доказывается построением. Сначала через данную точку $M$ проводится прямая $c$, перпендикулярная данной прямой $a$. Затем через ту же точку $M$ проводится прямая $b$, перпендикулярная прямой $c$. Так как две прямые ($a$ и $b$), перпендикулярные третьей ($c$), параллельны, то $b \parallel a$, при этом прямая $b$ проходит через точку $M$, что и требовалось доказать.