Номер 11, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 11, страница 67.

Условие.

11 Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Данное утверждение является свойством транзитивности параллельности прямых. Докажем его, используя метод от противного, который основан на аксиоме параллельных прямых.

Дано:
Три прямые $a$, $b$ и $c$.
Прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$).
Прямая $b$ параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$).

Доказать:
Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Доказательство:

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Согласно определению, две непараллельные прямые на плоскости должны пересекаться в одной точке. Обозначим эту точку пересечения как $M$.

Таким образом, из нашего предположения следует, что через точку $M$ проходят две различные прямые: $a$ и $b$.

По условию задачи мы знаем, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Это означает, что через точку $M$ проходят две разные прямые ($a$ и $b$), каждая из которых параллельна третьей прямой $c$.

Однако это противоречит аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поскольку наше первоначальное предположение (о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются) привело к противоречию с фундаментальной аксиомой геометрии, оно неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.