Номер 16, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Вопросы к главе 3 - номер 16, страница 67.

Условие.

16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$.

• Углы равны, если они оба острые, оба тупые или оба прямые (одноименные). Это происходит, когда их стороны соответственно сонаправлены или соответственно противонаправлены.
• Сумма углов равна $180^\circ$, если один из углов острый, а другой — тупой (разноименные). Это происходит, когда одна пара параллельных сторон сонаправлена, а другая — противонаправлена.

Доказательство

Пусть даны два угла: $\angle 1$ и $\angle 2$. Стороны угла $\angle 1$ параллельны сторонам угла $\angle 2$. Возможны два случая расположения этих углов.

Для доказательства воспользуемся вспомогательным углом. Продлим одну из сторон одного угла так, чтобы она пересекла одну из сторон другого угла. Пусть даны $\angle AOB$ и $\angle A_1O_1B_1$, где $OA \parallel O_1A_1$ и $OB \parallel O_1B_1$.

Продолжим луч $O_1A_1$ до пересечения с лучом $OB$ в точке $C$. У нас образуется вспомогательный угол $\angle O_1CB$.

Случай 1: Углы равны (стороны сонаправлены или противонаправлены)

Рассмотрим случай, когда лучи $OA$ и $O_1A_1$ сонаправлены, и лучи $OB$ и $O_1B_1$ также сонаправлены.

1. Рассмотрим прямые $OA$ и $O_1C$ (которая содержит луч $O_1A_1$) и секущую $OB$. Так как $OA \parallel O_1C$, то углы $\angle AOB$ и $\angle O_1CB$ являются соответственными, а значит, они равны: $\angle AOB = \angle O_1CB$.

2. Теперь рассмотрим прямые $OB$ (содержащую луч $CB$) и $O_1B_1$ и секущую $O_1C$. Так как $OB \parallel O_1B_1$ и лучи сонаправлены, то углы $\angle O_1CB$ и $\angle A_1O_1B_1$ также являются соответственными. Следовательно, они равны: $\angle O_1CB = \angle A_1O_1B_1$.

3. Из двух полученных равенств следует, что $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

Если стороны углов соответственно противонаправлены, то угол, вертикальный углу $\angle A_1O_1B_1$, будет иметь стороны, сонаправленные сторонам угла $\angle AOB$. Так как вертикальные углы равны, то и в этом случае $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

Случай 2: Сумма углов равна $180^\circ$ (одна пара сторон сонаправлена, другая — противонаправлена)

Пусть лучи $OA$ и $O_1A_1$ сонаправлены, а лучи $OB$ и $O_1B_1$ противонаправлены.

1. Как и в первом случае, на основе параллельности прямых $OA$ и $O_1C$ и секущей $OB$ мы получаем, что соответственные углы равны: $\angle AOB = \angle O_1CB$.

2. Теперь рассмотрим прямые $OB$ и $O_1B_1$ и секущую $O_1C$. Так как лучи $OB$ и $O_1B_1$ противонаправлены, то углы $\angle O_1CB$ и $\angle A_1O_1B_1$ являются внутренними односторонними углами.

3. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle O_1CB + \angle A_1O_1B_1 = 180^\circ$.

4. Заменяя в этом равенстве $\angle O_1CB$ на равный ему $\angle AOB$, получаем: $\angle AOB + \angle A_1O_1B_1 = 180^\circ$.

Теорема доказана для всех случаев.

Ответ: Два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны (если они одноименные, т.е. оба острые или оба тупые), либо их сумма равна $180^\circ$ (если они разноименные, т.е. один острый, а другой тупой).