Номер 218, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Параллельные прямые. Параграф 2. Аксиома параллельных прямых - номер 218, страница 67.

Условие.

218 Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Да, такую прямую провести можно.

Обоснование.

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Согласно аксиоме, на прямой $a$ существует по крайней мере еще одна точка, отличная от $M$. Назовем эту точку $N$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ различны и пересекаются, они имеют только одну общую точку — $M$. Следовательно, точка $N$, принадлежащая прямой $a$, не принадлежит прямой $b$.

Теперь мы имеем прямую $b$ и точку $N$, не лежащую на этой прямой. Согласно аксиоме о параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Проведем через точку $N$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Эта прямая $c$ и будет искомой, так как она удовлетворяет обоим условиям задачи:

1. Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) по построению.
2. Прямая $c$ пересекает прямую $a$, так как они имеют общую точку $N$.

Таким образом, существование такой прямой доказано.

Ответ: Да, можно.