Номер 223, страница 70 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 223, страница 70.

Условие.

223 Найдите угол C треугольника ABC, если:

a) $\angle A = 65^{\circ}, \angle B = 57^{\circ}$;

б) $\angle A = 24^{\circ}, \angle B = 130^{\circ}$;

в) $\angle A = \alpha, \angle B = 2\alpha$;

г) $\angle A = 60^{\circ} + \alpha, \angle B = 60^{\circ} - \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ это записывается как: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
Чтобы найти неизвестный угол $C$, нужно из общей суммы $180^{\circ}$ вычесть сумму двух известных углов $A$ и $B$.
По условию, $\angle A = 65^{\circ}$ и $\angle B = 57^{\circ}$.
Сначала найдем сумму этих углов:
$\angle A + \angle B = 65^{\circ} + 57^{\circ} = 122^{\circ}$.
Теперь вычислим угол $C$:
$\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$.
Ответ: $58^{\circ}$.

б) Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B)$.
По условию, $\angle A = 24^{\circ}$ и $\angle B = 130^{\circ}$.
Найдем сумму известных углов:
$\angle A + \angle B = 24^{\circ} + 130^{\circ} = 154^{\circ}$.
Вычислим угол $C$:
$\angle C = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}$.
Ответ: $26^{\circ}$.

в) Применяем ту же теорему о сумме углов треугольника, выражая угол $C$ через углы $A$ и $B$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B)$.
По условию, $\angle A = \alpha$ и $\angle B = 2\alpha$.
Найдем их сумму:
$\angle A + \angle B = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$.
Теперь выразим угол $C$ через $\alpha$:
$\angle C = 180^{\circ} - 3\alpha$.
Ответ: $180^{\circ} - 3\alpha$.

г) По теореме о сумме углов треугольника, $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B)$.
По условию, $\angle A = 60^{\circ} + \alpha$ и $\angle B = 60^{\circ} - \alpha$.
Найдем сумму известных углов. Для этого сложим выражения для $\angle A$ и $\angle B$:
$\angle A + \angle B = (60^{\circ} + \alpha) + (60^{\circ} - \alpha) = 60^{\circ} + \alpha + 60^{\circ} - \alpha = 120^{\circ}$.
Как видно, переменная $\alpha$ сокращается.
Теперь вычислим угол $C$:
$\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Ответ: $60^{\circ}$.