Номер 228, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 228, страница 71.

Условие.

228 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:

a) $40^{\circ}$

б) $60^{\circ}$

в) $100^{\circ}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для каждого случая рассмотрим две возможные ситуации: когда данный угол является углом при вершине и когда он является углом при основании.

а) Дан угол $40^\circ$.

1-й случай: Угол при вершине равен $40^\circ$.
Пусть два других угла (углы при основании) равны $x$. Тогда:
$40^\circ + x + x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 40^\circ$
$2x = 140^\circ$
$x = 70^\circ$
Углы треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

2-й случай: Угол при основании равен $40^\circ$.
Тогда и второй угол при основании равен $40^\circ$. Пусть угол при вершине равен $y$. Тогда:
$40^\circ + 40^\circ + y = 180^\circ$
$80^\circ + y = 180^\circ$
$y = 180^\circ - 80^\circ$
$y = 100^\circ$
Углы треугольника: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ или $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.

б) Дан угол $60^\circ$.

1-й случай: Угол при вершине равен $60^\circ$.
Пусть углы при основании равны $x$. Тогда:
$60^\circ + 2x = 180^\circ$
$2x = 120^\circ$
$x = 60^\circ$
Все углы треугольника равны $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним.

2-й случай: Угол при основании равен $60^\circ$.
Тогда и второй угол при основании равен $60^\circ$. Пусть угол при вершине равен $y$. Тогда:
$60^\circ + 60^\circ + y = 180^\circ$
$120^\circ + y = 180^\circ$
$y = 60^\circ$
Все углы треугольника снова равны $60^\circ$.
В обоих случаях получается один и тот же результат.
Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

в) Дан угол $100^\circ$.

1-й случай: Угол при основании равен $100^\circ$.
Так как углы при основании равны, то в треугольнике будет два угла по $100^\circ$. Их сумма $100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$, что уже больше $180^\circ$. Такая ситуация невозможна, так как сумма всех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.

2-й случай: Угол при вершине равен $100^\circ$.
Пусть углы при основании равны $x$. Тогда:
$100^\circ + 2x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 100^\circ$
$2x = 80^\circ$
$x = 40^\circ$
Углы треугольника: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.
Этот случай является единственно возможным.
Ответ: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$.