Номер 235, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 235, страница 71.

Условие.

235 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если $\angle ADB = 110^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

$AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$.

Обозначим величину угла $\angle DAC$ как $x$. Тогда $\angle BAD$ также равен $x$, а весь угол $\angle BAC$ равен $x + x = 2x$.

Поскольку $\angle BCA = \angle BAC$, то $\angle BCA = 2x$.

Рассмотрим углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому эти углы являются смежными. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Зная, что $\angle ADB = 110^\circ$, можем найти угол $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ADC$ имеем: $\angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$.

Подставим в это равенство известные значения углов, выраженные через $x$ (учитывая, что $\angle ACD$ — это то же самое, что и $\angle BCA$):
$x + 2x + 70^\circ = 180^\circ$.

Решим полученное уравнение:
$3x = 180^\circ - 70^\circ$
$3x = 110^\circ$
$x = \frac{110^\circ}{3}$

Теперь, зная значение $x$, найдем углы исходного треугольника $ABC$:

• Углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA = 2x = 2 \cdot \frac{110^\circ}{3} = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$.
• Угол при вершине: $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\frac{220^\circ}{3} + \frac{220^\circ}{3}) = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3} = \frac{540^\circ - 440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$.

Ответ: $\angle A = \angle C = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle B = 33\frac{1}{3}^\circ$.