Номер 231, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 1. Сумма углов треугольника - номер 231, страница 71.

Условие.

231 □ Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $BC$. Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$.
$AM = \frac{1}{2} BC$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ – прямоугольный.

Доказательство:

1. Так как $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$, то точка $M$ — середина отрезка $BC$. Это означает, что $BM = MC = \frac{1}{2} BC$.

2. По условию задачи дано, что $AM = \frac{1}{2} BC$. Из этого и из пункта 1 следует, что $AM = BM = MC$.

3. Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку $AM = BM$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAM = \angle ABM$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$, то есть $\angle BAM = \angle B = \alpha$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ACM$. Поскольку $AM = MC$, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle CAM = \angle ACM$. Обозначим величину этих углов как $\beta$, то есть $\angle CAM = \angle C = \beta$.

5. Угол $A$ треугольника $ABC$ складывается из углов $\angle BAM$ и $\angle CAM$. Таким образом, $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \alpha + \beta$.

6. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.

7. Подставим в это равенство выражения для углов через $\alpha$ и $\beta$:
$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^{\circ}$
$2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$

8. Из пункта 5 мы знаем, что $\angle BAC = \alpha + \beta$. Следовательно, $\angle BAC = 90^{\circ}$.

9. Так как один из углов треугольника $ABC$ равен $90^{\circ}$, то по определению треугольник $ABC$ является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.