Номер 238, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 238, страница 74.

Условие.

238 □ Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что боковые стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), а углы при основании также равны ($\angle BAC = \angle BCA$).

Возьмем на основании $AC$ произвольную точку $D$, которая не совпадает с вершинами $A$ и $C$. Соединим точку $D$ с противоположной вершиной $B$, получив отрезок $BD$. Нам нужно доказать, что длина отрезка $BD$ меньше длины боковой стороны, то есть $BD < AB$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Чтобы сравнить длины сторон $BD$ и $AB$, сравним величины противолежащих им углов: $\angle BAD$ и $\angle BDA$.

Угол $\angle BAD$ является углом при основании исходного равнобедренного треугольника, то есть $\angle BAD = \angle BAC$.

Теперь рассмотрим угол $\angle BDA$. Этот угол является внешним для треугольника $BDC$ при вершине $D$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BDA = \angle BCD + \angle CBD$

Так как $\angle BCD$ — это угол при основании равнобедренного треугольника $ABC$, то $\angle BCD = \angle BCA$. А поскольку $\angle BCA = \angle BAC$, то $\angle BCD = \angle BAD$.

Подставив это в формулу для внешнего угла, получим:

$\angle BDA = \angle BAD + \angle CBD$

Поскольку точка $D$ находится между $A$ и $C$, а вершина $B$ не лежит на прямой $AC$, треугольник $BDC$ является невырожденным, и его угол $\angle CBD$ строго больше нуля ($\angle CBD > 0$).

Следовательно, $\angle BDA > \angle BAD$.

Теперь вернемся к треугольнику $ABD$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как в $\triangle ABD$ угол $\angle BDA$ больше угла $\angle BAD$, то сторона, лежащая напротив $\angle BDA$ (сторона $AB$), больше стороны, лежащей напротив $\angle BAD$ (сторона $BD$).

Таким образом, $AB > BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.