Номер 236, страница 73 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 236, страница 73.

Условие.

236 Сравните углы треугольника $ABC$ и выясните, может ли быть угол $A$ тупым, если:

а) $AB > BC > AC$;

б) $AB = AC < BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Дано, что в треугольнике $ABC$ стороны соотносятся как $AB > BC > AC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

1. Сравним углы. Стороне $AB$ противолежит угол $C$. Стороне $BC$ противолежит угол $A$. Стороне $AC$ противолежит угол $B$. Из неравенства $AB > BC$ следует, что $\angle C > \angle A$. Из неравенства $BC > AC$ следует, что $\angle A > \angle B$. Таким образом, углы треугольника соотносятся как $\angle C > \angle A > \angle B$.

2. Выясним, может ли угол $A$ быть тупым. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$. Предположим, что угол $A$ тупой, то есть $\angle A > 90^\circ$. Так как мы установили, что $\angle C > \angle A$, то из этого следует, что $\angle C$ также должен быть тупым, и $\angle C > 90^\circ$. В таком случае сумма двух углов треугольника $\angle A + \angle C$ будет больше, чем $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Однако сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно. Следовательно, угол $A$ не может быть тупым. Ответ: $\angle C > \angle A > \angle B$; угол $A$ не может быть тупым.

б) Дано, что в треугольнике $ABC$ стороны соотносятся как $AB = AC < BC$.

1. Сравним углы. Поскольку $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и углы при основании $BC$ равны: $\angle B = \angle C$. Сторона $BC$ является наибольшей стороной треугольника ($BC > AB$ и $BC > AC$). Угол $A$, лежащий против стороны $BC$, является наибольшим углом треугольника. Таким образом, углы треугольника соотносятся как $\angle A > \angle B = \angle C$.

2. Выясним, может ли угол $A$ быть тупым. Угол $A$ является наибольшим углом в треугольнике, поэтому он может быть тупым. В треугольнике может быть только один тупой угол. Согласно следствию из теоремы косинусов, угол $A$ будет тупым, если квадрат противолежащей ему стороны $BC$ больше суммы квадратов двух других сторон: $BC^2 > AB^2 + AC^2$. Так как $AB = AC$, это неравенство можно переписать в виде: $BC^2 > AB^2 + AB^2$, или $BC^2 > 2AB^2$. Это эквивалентно условию $BC > AB\sqrt{2}$. Нам нужно проверить, может ли существовать треугольник, в котором одновременно выполняются условия: 1) $AB = AC$ (дано) 2) $BC > AB$ (дано) 3) $BC > AB\sqrt{2}$ (условие тупого угла $A$) 4) $AB + AC > BC$ (неравенство треугольника)

Из условия $BC > AB\sqrt{2}$ автоматически следует $BC > AB$, так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$. Неравенство треугольника с учетом $AB=AC$ принимает вид $2AB > BC$. Таким образом, угол $A$ будет тупым, если можно подобрать такие стороны, что $AB\sqrt{2} < BC < 2AB$. Такие стороны существуют. Например, пусть $AB = AC = 5$. Тогда $5\sqrt{2} < BC < 10$. Приблизительно $7.07 < BC < 10$. Мы можем выбрать $BC = 8$. В треугольнике со сторонами 5, 5, 8 условие $AB = AC < BC$ выполняется ($5=5<8$). Проверим, будет ли угол $A$ тупым: $8^2 > 5^2 + 5^2$, что дает $64 > 25 + 25$, или $64 > 50$. Неравенство верное. Следовательно, угол $A$ может быть тупым. Ответ: $\angle A > \angle B = \angle C$; угол $A$ может быть тупым.