Номер 240, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 240, страница 74.

Условие.

240 ▢ В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольник $AOC$ — равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $∠BAC = ∠BCA$.

$AO$ является биссектрисой угла $A$ (угла $BAC$), а $CO$ — биссектрисой угла $C$ (угла $BCA$). По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы получаем:
$∠OAC = \frac{1}{2} ∠BAC$
$∠OCA = \frac{1}{2} ∠BCA$

Так как $∠BAC = ∠BCA$, то и половины этих углов равны между собой:
$\frac{1}{2} ∠BAC = \frac{1}{2} ∠BCA$
Из этого следует, что $∠OAC = ∠OCA$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. В этом треугольнике два угла при стороне $AC$ равны ($∠OAC = ∠OCA$). Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как его углы при основании $AC$ равны ($∠OAC = ∠OCA$).