Номер 247, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 247, страница 74.

Условие.

247 На рисунке 130 $AB=AC$, $AP=AQ$.

Докажите, что:

а) треугольник $BOC$ — равнобедренный;

б) прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.

Рис. 130

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ΔCPB$ и $ΔBQC$.
По условию $AB = AC$ и $AP = AQ$.
Найдем длины отрезков $PB$ и $QC$:
$PB = AB - AP$
$QC = AC - AQ$
Так как правые части этих равенств равны, то равны и левые: $PB = QC$.
Поскольку $AB = AC$, треугольник $ΔABC$ является равнобедренным, а значит, углы при его основании равны: $∠ABC = ∠ACB$. Эти углы также можно записать как $∠PBC = ∠QCB$.
Сторона $BC$ является общей для треугольников $ΔCPB$ и $ΔBQC$.
Таким образом, в треугольниках $ΔCPB$ и $ΔBQC$ имеем:
1. $PB = QC$ (доказано выше)
2. $∠PBC = ∠QCB$ (углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$)
3. $BC$ — общая сторона
Следовательно, $ΔCPB = ΔBQC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $∠PCB = ∠QBC$.
Эти углы являются углами при основании в треугольнике $BOC$ ($∠OCB = ∠PCB$ и $∠OBC = ∠QBC$).
Так как в треугольнике $BOC$ два угла равны, он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник BOC — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим отрезок $BC$.
Из условия известно, что $AB = AC$. Это означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $BC$.
Из пункта (а) мы доказали, что треугольник $BOC$ — равнобедренный, откуда следует, что $BO = CO$. Это означает, что точка $O$ также равноудалена от концов отрезка $BC$.
Все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Поскольку обе точки, $A$ и $O$, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, то и вся прямая $OA$, проходящая через эти точки, является серединным перпендикуляром к $BC$.
По определению серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.
Следовательно, прямая $OA$ проходит через середину основания $BC$ и перпендикулярна к нему.

Ответ: Прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему, что и требовалось доказать.