Номер 251, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 251, страница 75.

Условие.

251 ◻ Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Решение

Докажем, например, что в треугольнике $ABC$ $AB > AC - BC$.

Так как $AB+BC > AC$, то $AB > AC - BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны произвольного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Требуется доказать, что любая сторона этого треугольника больше модуля разности двух других сторон. Для определённости докажем, что $a > |b - c|$.

В основе доказательства лежит неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Для нашего случая справедливы следующие три неравенства: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$.

Рассмотрим неравенство $a + c > b$. Вычтем из обеих его частей $c$: $a + c - c > b - c$
$a > b - c$.

Теперь рассмотрим неравенство $b + c > a$. Это неравенство можно переписать как $a < b+c$. Это не то. Рассмотрим неравенство $a+b>c$. Вычтем из обеих его частей $b$: $a + b - b > c - b$
$a > c - b$.

Мы доказали два неравенства: $a > b - c$ и $a > c - b$. По определению модуля, $|b - c|$ равен $b - c$, если $b \ge c$, и $c - b$, если $c > b$. Так как мы показали, что сторона $a$ больше обоих этих выражений, то она будет больше и модуля их разности. Таким образом, $a > |b - c|$.

Аналогичные рассуждения, применённые к другим парам сторон, доказывают, что $b > |a - c|$ и $c > |a - b|$. Следовательно, каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая сторона треугольника больше модуля разности двух других его сторон. Это является прямым следствием неравенства треугольника. Для сторон $a, b, c$ любого треугольника верны неравенства: $a > |b - c|$, $b > |a - c|$, $c > |a - b|$.