Номер 257, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 257, страница 80.

Условие.

257. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$, $AC + AB = 18$ см. Найдите $AC$ и $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку внешний угол треугольника при вершине $A$ и внутренний угол $\angle A$ являются смежными, их сумма составляет $180^{\circ}$. Зная, что внешний угол равен $120^{\circ}$, мы можем найти внутренний угол $\angle A$:
$\angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^{\circ}$). Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти угол $B$:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$.
(Или, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике катет $AC$ лежит напротив угла $B = 30^{\circ}$, а гипотенузой является сторона $AB$. Таким образом, мы получаем соотношение:
$AC = \frac{1}{2} AB$.

По условию задачи дано, что $AC + AB = 18$ см. Мы можем составить систему уравнений:
$\begin{cases} AC + AB = 18 \\ AC = \frac{1}{2} AB \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{1}{2} AB + AB = 18$
$\frac{3}{2} AB = 18$

Решим уравнение относительно $AB$:
$AB = 18 \cdot \frac{2}{3}$
$AB = 12$ см.

Теперь, зная длину $AB$, найдем длину $AC$:
$AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 12$ см.