Номер 261, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 261, страница 80.

Условие.

261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AB = BC$), а углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Проведём высоты $AH_1$ из вершины основания $A$ к боковой стороне $BC$ и $CH_2$ из вершины основания $C$ к боковой стороне $AB$. По определению высоты, $AH_1 \perp BC$ и $CH_2 \perp AB$, а значит, треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$ являются прямоугольными.

Доказать:

Необходимо доказать равенство высот $AH_1$ и $CH_2$, то есть $AH_1 = CH_2$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AC$ является общей гипотенузой.

2. Углы $\angle H_1CA$ и $\angle H_2AC$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle BCA = \angle BAC$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AH_1C$ и $\triangle CH_2A$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AH_1$ лежит в $\triangle AH_1C$ напротив угла $\angle H_1CA$. Катет $CH_2$ лежит в $\triangle CH_2A$ напротив угла $\angle H_2AC$. Так как $\angle H_1CA = \angle H_2AC$, то и противолежащие им катеты равны: $AH_1 = CH_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Высоты, проведённые из вершин основания в равнобедренном треугольнике, равны.