Номер 260, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 260, страница 80.

Условие.

260 Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию задачи, боковая сторона $AB = BC = 15,2$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$, ее длина $BH = 7,6$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, и биссектрисой. Она делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике:

- гипотенуза $AB$ равна боковой стороне исходного треугольника и составляет $15,2$ см.

- катет $BH$ является высотой и равен $7,6$ см.

- катет $BH$ лежит напротив угла $\angle A$.

Для нахождения угла $\angle A$ (угол при основании) воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\sin(\angle A) = \frac{7,6}{15,2} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle A = 30^\circ$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, поэтому $\angle C = \angle A = 30^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника, $\angle B$ (угол при вершине):

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C)$

$\angle B = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Таким образом, углы данного треугольника равны $30^\circ, 30^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$.