Номер 262, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 262, страница 80.

Условие.

262 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ углы $A$ и $A_1$ — прямые, $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $\angle B = \angle B_1$ и $BD = B_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ сначала рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$, образованные биссектрисами $BD$ и $B_1D_1$.

1. Равенство треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$.
По условию $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ — прямоугольные. Так как $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы, они делят углы $B$ и $B_1$ пополам: $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то и их половины равны: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$. Гипотенузы этих треугольников также равны по условию: $BD = B_1D_1$. Таким образом, прямоугольные треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AB = A_1B_1$.

2. Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Теперь рассмотрим исходные треугольники. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как:

• $\angle A = \angle A_1 = 90^\circ$ (по условию);
• $AB = A_1B_1$ (доказано в предыдущем пункте);
• $\angle B = \angle B_1$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.