Номер 264, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 3. Прямоугольные треугольники - номер 264, страница 80.

Условие.

264 Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Найдите $\angle AMB$, если $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 67^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения угла $\angle AMB$ рассмотрим треугольник $AMB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому, найдя два других угла этого треугольника ($\angle MAB$ и $\angle MBA$), мы сможем вычислить искомый угол.

1. Угол $\angle MAB$ является частью угла $\angle A$ треугольника $ABC$. Чтобы найти его, рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1B$. Так как $AA_1$ — высота, то $\angle AA_1B = 90^{\circ}$. Известно, что $\angle B = 67^{\circ}$. Тогда:

$\angle BAA_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 67^{\circ} = 23^{\circ}$.

Поскольку точка $M$ лежит на высоте $AA_1$, то $\angle MAB = \angle BAA_1 = 23^{\circ}$.

2. Угол $\angle MBA$ является частью угла $\angle B$ треугольника $ABC$. Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1A$. Так как $BB_1$ — высота, то $\angle BB_1A = 90^{\circ}$. Известно, что $\angle A = 55^{\circ}$. Тогда:

$\angle ABB_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$.

Поскольку точка $M$ лежит на высоте $BB_1$, то $\angle MBA = \angle ABB_1 = 35^{\circ}$.

3. Теперь, зная два угла в треугольнике $AMB$, мы можем найти третий, искомый угол $\angle AMB$:

$\angle AMB = 180^{\circ} - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 35^{\circ}) = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$.

Ответ: $122^{\circ}$.