Номер 271, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 271, страница 85.

Условие.

271 Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $p$ — длина перпендикуляра, а $n$ — длина наклонной, проведенных из одной точки к прямой. Расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра. Следовательно, нам необходимо найти значение $p$.

Согласно условию задачи, сумма длин перпендикуляра и наклонной равна 17 см, а их разность — 1 см. Это можно записать в виде системы двух линейных уравнений:

$n + p = 17$
$n - p = 1$

Второе уравнение записано как $n - p = 1$, потому что наклонная, являясь гипотенузой в прямоугольном треугольнике (образованном самой наклонной, перпендикуляром и проекцией наклонной на прямую), всегда длиннее перпендикуляра, который является катетом.

Для решения системы сложим оба уравнения:

$(n + p) + (n - p) = 17 + 1$
$2n = 18$
$n = \frac{18}{2} = 9$

Длина наклонной составляет 9 см. Теперь, чтобы найти длину перпендикуляра $p$, подставим найденное значение $n$ в первое уравнение системы:

$9 + p = 17$
$p = 17 - 9$
$p = 8$

Таким образом, длина перпендикуляра равна 8 см. Это и есть искомое расстояние от точки до прямой.

Ответ: 8 см.