Номер 272, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 272, страница 85.

Условие.

272 В равностороннем треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно 6 см. Найдите расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его углы равны $60^\circ$. То есть, $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

$AD$ — это биссектриса угла $A$, следовательно, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle CAD = \angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из любой вершины, является также медианой и высотой. Следовательно, $AD$ является высотой, опущенной на сторону $BC$. Это означает, что $AD \perp BC$ и, соответственно, $\angle ADC = 90^\circ$.

Расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BC$. Таким перпендикуляром является высота $AD$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины отрезка $AD$.

По условию, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно 6 см. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляр $DE$ из точки $D$ на прямую $AC$ (точка $E$ лежит на $AC$). Тогда $DE \perp AC$ и длина $DE = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DEC$. В нем нам известны:
• $\angle DEC = 90^\circ$ (по построению)
• $\angle C = 60^\circ$ (так как $\triangle ABC$ равносторонний)
• катет $DE = 6$ см (по условию)

Из треугольника $DEC$ мы можем найти длину гипотенузы $DC$. Синус угла $C$ равен отношению противолежащего катета $DE$ к гипотенузе $DC$:
$\sin(\angle C) = \frac{DE}{DC}$
Отсюда $DC = \frac{DE}{\sin(\angle C)} = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем нам известны:
• $\angle ADC = 90^\circ$ (так как $AD$ — высота)
• $\angle C = 60^\circ$
• катет $DC = 4\sqrt{3}$ см

Найдем длину искомого катета $AD$. Тангенс угла $C$ равен отношению противолежащего катета $AD$ к прилежащему катету $DC$:
$\tan(\angle C) = \frac{AD}{DC}$
Отсюда $AD = DC \cdot \tan(\angle C) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Таким образом, расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.