Номер 274, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 274, страница 85.

Условие.

274 Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Одним из свойств равнобедренного треугольника является равенство углов при основании, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Обозначим середину основания $AC$ точкой $M$. По определению середины отрезка, $AM = MC$.

Нам необходимо доказать, что точка $M$ равноудалена от боковых сторон $AB$ и $BC$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к стороне $AB$ (так что $MH \perp AB$) и перпендикуляр $MK$ к стороне $BC$ (так что $MK \perp BC$). Таким образом, длина отрезка $MH$ является расстоянием от точки $M$ до стороны $AB$, а длина отрезка $MK$ — расстоянием от точки $M$ до стороны $BC$. Наша задача — доказать, что $MH = MK$.

Для доказательства этого равенства рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$.

1. Оба треугольника являются прямоугольными, так как по построению $MH \perp AB$ и $MK \perp BC$, а значит $\angle MHA = 90^\circ$ и $\angle MKC = 90^\circ$.
2. Гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AMH$ равна гипотенузе $MC$ треугольника $\triangle CMK$, поскольку $M$ — середина отрезка $AC$ по условию.
3. Острый угол $\angle HAM$ в треугольнике $\triangle AMH$ равен острому углу $\angle KCM$ в треугольнике $\triangle CMK$, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle HAM = \angle BAC$, $\angle KCM = \angle BCA$, и $\angle BAC = \angle BCA$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMK$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Катет $MH$ лежит напротив угла $\angle HAM$, а катет $MK$ лежит напротив угла $\angle KCM$. Так как $\angle HAM = \angle KCM$, то и соответственные катеты равны: $MH = MK$.

Равенство $MH = MK$ означает, что расстояния от точки $M$ до сторон $AB$ и $BC$ равны, то есть точка $M$ равноудалена от боковых сторон треугольника. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.