Номер 281, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 281, страница 86.

Условие.

281 Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две параллельные прямые, обозначим их $l_1$ и $l_2$. Расстояние между этими прямыми — это длина любого их общего перпендикуляра. Обозначим это расстояние как $d$.

Искомое множество точек — это геометрическое место точек $M$, для каждой из которых расстояние до прямой $l_1$ равно расстоянию до прямой $l_2$. Обозначим это условие как $d(M, l_1) = d(M, l_2)$.

Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую. Любая точка $M$, равноудаленная от $l_1$ и $l_2$, должна лежать в полосе между этими прямыми.

Рассмотрим произвольную точку $M$, лежащую между прямыми $l_1$ и $l_2$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$. Пусть она пересекает $l_1$ в точке $A$ и $l_2$ в точке $B$. Длина отрезка $AB$ равна расстоянию между прямыми, то есть $AB = d$. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Расстояние от $M$ до $l_1$ равно длине отрезка $MA$, а расстояние от $M$ до $l_2$ равно длине отрезка $MB$.

По условию, точка $M$ равноудалена от $l_1$ и $l_2$, следовательно, $MA = MB$. Так как $M$ лежит на отрезке $AB$, то $MA + MB = AB = d$. Подставляя $MA = MB$ в это равенство, получаем $2 \cdot MA = d$, откуда $MA = d/2$. Аналогично, $MB = d/2$.

Это означает, что любая точка искомого множества находится на расстоянии $d/2$ от каждой из данных прямых. Множество всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от некоторой прямой и по одну сторону от нее, само является прямой, параллельной данной.

Следовательно, множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, представляет собой прямую, которая параллельна этим двум прямым и проходит ровно посередине между ними.

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними.