Номер 284, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 284, страница 86.

Условие.

284 ◻ Даны прямая $a$ и отрезок $AB$. Постройте прямую $p$, параллельную прямой $a$, так, чтобы расстояние между прямыми $a$ и $p$ было равно $AB$.

Решение

Отметим на прямой $a$ какую-нибудь точку $C$ и проведём через точку $C$ прямую $b$, перпендикулярную к прямой $a$ (рис. 142).

Затем на одном из лучей прямой $b$, исходящих из точки $C$, отложим отрезок $CD$, равный отрезку $AB$. Через точку $D$ проведём прямую $p$, перпендикулярную к прямой $b$. Прямая $p$ — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой $a$ и любого данного отрезка $AB$ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые $p$ и $p_1$ на рисунке 143).

Решение 2.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Данная задача требует построить прямую p, параллельную прямой a, на расстоянии, равном длине отрезка AB. В условии предложен верный алгоритм построения, который мы подробно разберем и обоснуем.

Объяснение, почему построенная прямая p является искомой

Следуем предложенному алгоритму построения:

1. На прямой a отмечаем произвольную точку C.
2. Через точку C проводим прямую b, перпендикулярную прямой a. Математически это записывается как $b \perp a$.
3. На прямой b от точки C откладываем отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AB. То есть, $CD = AB$.
4. Через полученную точку D проводим прямую p, перпендикулярную прямой b. То есть, $p \perp b$.

Теперь докажем, что построенная прямая p удовлетворяет всем условиям задачи.

• Доказательство параллельности $p$ и $a$.
  По построению, прямая a перпендикулярна прямой b ($a \perp b$), и прямая p также перпендикулярна прямой b ($p \perp b$). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Отсюда следует, что $p \parallel a$. Первое условие выполнено.
• Доказательство равенства расстояния отрезку AB.
  Расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между этими прямыми. В нашем случае прямая b является общим перпендикуляром к параллельным прямым a и p. Отрезок этого перпендикуляра между прямыми – это отрезок CD. По построению мы задали его длину равной длине отрезка AB ($CD = AB$). Следовательно, расстояние между прямыми a и p равно AB. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия задачи выполнены, построенная прямая p является искомой.

Ответ: Прямая p является искомой, так как по построению она перпендикулярна той же прямой b, что и прямая a (следовательно, $p \parallel a$), а расстояние между ними, равное длине отрезка CD, по построению равно длине отрезка AB.

О количестве решений задачи

Задача имеет ровно два решения. Это следует из шага 3 алгоритма. При откладывании отрезка CD на прямой b от точки C, это можно сделать в двух противоположных направлениях, так как точка C делит прямую b на два луча.

Отложив отрезок в одну сторону от прямой a, мы получаем первую искомую прямую p. Отложив отрезок равной длины ($CD_1 = AB$) в противоположную сторону, мы получаем точку $D_1$ и, проведя через нее прямую $p_1$ перпендикулярно b, получим вторую искомую прямую $p_1$. Обе прямые, p и $p_1$, будут параллельны прямой a и находиться от нее на заданном расстоянии AB, но по разные стороны от нее.

Ответ: Задача имеет два решения, так как искомую прямую можно построить с любой из двух сторон от данной прямой a.