Номер 282, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 282, страница 86.

Условие.

282 Прямые $a$ и $b$ параллельны. Докажите, что середины всех отрезков $XY$, где $X \in a$, $Y \in b$, лежат на прямой, параллельной прямым $a$ и $b$ и равноудалённой от этих прямых.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Требуется доказать, что геометрическое место точек, являющихся серединами всех отрезков $XY$, где $X \in a$ и $Y \in b$, представляет собой прямую, которая параллельна прямым $a$ и $b$ и находится на равном расстоянии от них.

Доказательство проведем в два этапа. Сначала установим, что все искомые середины лежат на одной прямой, параллельной $a$ и $b$. Затем докажем, что эта прямая равноудалена от $a$ и $b$.

Доказательство того, что середины лежат на одной прямой, параллельной $a$ и $b$

Выберем на прямой $a$ две произвольные различные точки $X_1$ и $X_2$, а на прямой $b$ — две произвольные различные точки $Y_1$ и $Y_2$. Пусть $M_1$ — середина отрезка $X_1Y_1$, а $M_2$ — середина отрезка $X_2Y_2$.

Рассмотрим четырехугольник $X_1X_2Y_2Y_1$. Так как точки $X_1$ и $X_2$ лежат на прямой $a$, а точки $Y_1$ и $Y_2$ лежат на прямой $b$, и по условию $a \parallel b$, то основания $X_1X_2$ и $Y_1Y_2$ этого четырехугольника параллельны. Следовательно, четырехугольник $X_1X_2Y_2Y_1$ является трапецией (или параллелограммом, если $X_1Y_1 \parallel X_2Y_2$, что является частным случаем).

Отрезок $M_1M_2$ соединяет середины боковых сторон $X_1Y_1$ и $X_2Y_2$ трапеции. По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Таким образом, $M_1M_2 \parallel X_1X_2$ и $M_1M_2 \parallel Y_1Y_2$.

Поскольку отрезок $X_1X_2$ лежит на прямой $a$, а $Y_1Y_2$ — на прямой $b$, то прямая, содержащая отрезок $M_1M_2$, параллельна прямым $a$ и $b$.

Так как точки $X_1, X_2, Y_1, Y_2$ были выбраны произвольно, любая пара середин $M_i, M_j$ определяет прямую, параллельную $a$ и $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через одну точку ($M_1$) может проходить только одна прямая, параллельная данной прямой ($a$). Это означает, что все середины отрезков $XY$ лежат на одной и той же прямой. Обозначим эту прямую как $c$. Итак, мы доказали, что $c \parallel a$ и $c \parallel b$.

Доказательство того, что прямая $c$ равноудалена от $a$ и $b$

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$. Поскольку $a \parallel b \parallel c$, прямая $p$ будет перпендикулярна также прямым $b$ и $c$.

Пусть прямая $p$ пересекает прямые $a, b, c$ в точках $X_0, Y_0, M_0$ соответственно. Отрезок $X_0Y_0$ — это один из отрезков, соединяющих точки на прямых $a$ и $b$. По доказанному выше, его середина $M_0$ должна лежать на прямой $c$.

Расстояние от прямой $c$ до прямой $a$ равно длине перпендикулярного отрезка $X_0M_0$. Расстояние от прямой $c$ до прямой $b$ равно длине перпендикулярного отрезка $Y_0M_0$.

Поскольку $M_0$ является серединой отрезка $X_0Y_0$, то по определению середины $X_0M_0 = Y_0M_0$. Отсюда следует, что расстояния от прямой $c$ до прямых $a$ и $b$ равны, то есть прямая $c$ равноудалена от них.

Таким образом, доказано, что середины всех отрезков $XY$, где $X \in a$, $Y \in b$, лежат на прямой, параллельной прямым $a$ и $b$ и равноудалённой от этих прямых.

Ответ: Что и требовалось доказать.