Номер 288, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 288, страница 87.

Условие.

288 □ Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы:

a) $AB = PQ, \angle ABC = \angle hk, \angle BAC = \frac{1}{2} \angle hk;$

б) $AB = PQ, \angle ABC = \angle hk, \angle BAC = \frac{1}{4} \angle hk.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для построения треугольника $ABC$ по стороне $AB=PQ$ и двум прилежащим углам $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$ необходимо выполнить следующие действия с помощью циркуля и линейки:

1. Построение угла $\frac{1}{2}\angle hk$. Для этого необходимо построить биссектрису данного угла $\angle hk$. Пусть его вершина — точка $O$. Проводим окружность с центром в $O$ произвольного радиуса, которая пересекает стороны угла в точках $M$ и $N$. Затем из точек $M$ и $N$ проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись в точке $S$. Луч $OS$ делит угол $\angle hk$ пополам, то есть $\angle NOS = \frac{1}{2}\angle hk$.

2. Построение стороны $AB$. На произвольной прямой $a$ выбираем точку $A$. С помощью циркуля измеряем длину отрезка $PQ$ и откладываем эту длину от точки $A$ на прямой $a$, получая точку $B$. Таким образом, $AB=PQ$.

3. Построение углов треугольника. От луча $AB$ в одной полуплоскости откладываем угол с вершиной в точке $A$, равный построенному углу $\frac{1}{2}\angle hk$. От луча $BA$ в той же полуплоскости откладываем угол с вершиной в точке $B$, равный данному углу $\angle hk$.

4. Нахождение вершины $C$. Точка пересечения сторон построенных углов (кроме стороны $AB$) и будет третьей вершиной треугольника — точкой $C$.

В результате получаем треугольник $ABC$, который удовлетворяет всем условиям задачи: $AB=PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$.

Следует отметить, что задача имеет решение только в том случае, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$. Проверим это условие: $\angle ABC + \angle BAC = \angle hk + \frac{1}{2}\angle hk = \frac{3}{2}\angle hk$. Построение возможно, если $\frac{3}{2}\angle hk < 180^\circ$, что эквивалентно $\angle hk < 120^\circ$. При выполнении этого условия решение единственно.

Ответ: Треугольник $ABC$, удовлетворяющий заданным условиям, построен.

б)

Для построения треугольника $ABC$ по условиям $AB=PQ$, $\angle ABC=\angle hk$ и $\angle BAC=\frac{1}{4}\angle hk$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение угла $\frac{1}{4}\angle hk$. Эта задача решается двукратным построением биссектрисы. Сначала строим биссектрису угла $\angle hk$, получая угол, равный $\frac{1}{2}\angle hk$. Затем строим биссектрису этого нового угла, в результате чего получаем искомый угол, равный $\frac{1}{4}\angle hk$.

2. Построение стороны $AB$. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине отрезку $PQ$.

3. Построение углов треугольника. От луча $AB$ в одной полуплоскости откладываем угол с вершиной в точке $A$, равный построенному углу $\frac{1}{4}\angle hk$. От луча $BA$ в той же полуплоскости откладываем угол с вершиной в точке $B$, равный исходному углу $\angle hk$.

4. Нахождение вершины $C$. Стороны построенных углов, исходящие из вершин $A$ и $B$, пересекутся в точке $C$, которая является третьей вершиной искомого треугольника.

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AB=PQ$, $\angle ABC = \angle hk$ и $\angle BAC = \frac{1}{4}\angle hk$.

Задача имеет решение, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$. Условие существования треугольника: $\angle ABC + \angle BAC < 180^\circ$. Подставляя значения, получаем: $\angle hk + \frac{1}{4}\angle hk < 180^\circ$, или $\frac{5}{4}\angle hk < 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle hk < \frac{4 \cdot 180^\circ}{5} = 144^\circ$. Если это условие выполняется, решение единственно.

Ответ: Треугольник $ABC$, удовлетворяющий заданным условиям, построен.