Номер 294, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трем элементам - номер 294, страница 88.

Условие.

294 □ Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $h_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, равна $h_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC = a$, $AC = b$, и $AH$ — высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, так что $AH = h_a$.

Из определения высоты следует, что точка $A$ удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$. Геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на заданное расстояние, являются две параллельные прямые.

Таким образом, вершина $A$ должна лежать на одной из двух прямых, параллельных прямой $BC$ и находящихся на расстоянии $h_a$ от нее.

Вершина $C$ лежит на той же прямой, что и сторона $BC$. Также, по условию, вершина $C$ находится на расстоянии $b$ от вершины $A$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения окружности с центром в точке $A$ и радиусом $b$ с прямой, на которой лежит сторона $BC$.

Вершина $B$ лежит на прямой $BC$ и находится на расстоянии $a$ от вершины $C$.

Этот анализ позволяет составить план построения.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $p$. На ней будет лежать сторона $BC$ треугольника.
2. Построим прямую $q$, параллельную прямой $p$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого выберем на прямой $p$ произвольную точку $H$, восстановим в этой точке перпендикуляр к прямой $p$ и отложим на нем отрезок $HA_0$ длиной $h_a$. Затем через точку $A_0$ проведем прямую $q$, параллельную $p$. Все возможные положения вершины $A$ находятся на прямой $q$.
3. Выберем на прямой $q$ произвольную точку $A$. Это будет первая вершина искомого треугольника.
4. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным $b$. Эта окружность пересечет прямую $p$ в точках, которые могут быть вершиной $C$. Пусть $C$ — одна из точек пересечения (если они существуют). Это будет вторая вершина треугольника.
5. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным $a$. Эта окружность пересечет прямую $p$ в двух точках. Выберем любую из них в качестве вершины $B$. Это будет третья вершина треугольника.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, сторона $AC$ является радиусом окружности с центром $A$, поэтому ее длина равна $b$. Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $a$. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$, на которой лежит сторона $BC$, по построению равно $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $q$, параллельной $p$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота треугольника, проведенная к стороне $BC$, равна $h_a$. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача не всегда имеет решение. Проанализируем количество возможных решений в зависимости от соотношения длин данных отрезков.

Шаг 4 построения (нахождение точки $C$) возможен только в том случае, если окружность с центром $A$ и радиусом $b$ пересекает или касается прямой $p$. Расстояние от центра окружности (точки $A$) до прямой $p$ равно $h_a$. Следовательно, для существования решения необходимо выполнение условия $b \ge h_a$.

• Если $b < h_a$, то окружность и прямая не пересекаются, и построить треугольник невозможно. Задача не имеет решений.
• Если $b = h_a$, то окружность касается прямой $p$ в одной точке. В этом случае вершина $C$ совпадает с точкой $H$ (основанием высоты). Треугольник $AHC$ является вырожденным, а треугольник $ABC$ — прямоугольным с прямым углом $H=C$. Далее, на шаге 5, окружность с центром $C$ и радиусом $a$ пересечет прямую $p$ в двух точках (симметричных относительно $C$). Это дает два конгруэнтных треугольника, то есть, по сути, одно решение.
• Если $b > h_a$, то окружность пересекает прямую $p$ в двух различных точках $C_1$ и $C_2$.
  • Выбрав в качестве вершины точку $C_1$, мы строим окружность с центром $C_1$ и радиусом $a$. Она пересекает прямую $p$ в двух точках $B_1$ и $B_2$. Получаем два треугольника: $\triangle AC_1B_1$ и $\triangle AC_1B_2$. В общем случае эти треугольники не являются конгруэнтными.
  • Выбор точки $C_2$ в качестве вершины приведет к построению двух треугольников, которые будут симметричны (и, следовательно, конгруэнтны) двум уже построенным.
  Таким образом, при $b > h_a$ задача, как правило, имеет два неконгруэнтных решения.

Ответ: Построение описано выше. Задача имеет решение при $b \ge h_a$. Если $b = h_a$, решение единственно (с точностью до конгруэнтности). Если $b > h_a$, задача имеет два неконгруэнтных решения.