Номер 3, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 3, страница 88.

Условие.

3 Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Пусть углы произвольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда выполняется равенство: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Также известно, что любой угол в треугольнике является положительной величиной, то есть $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma > 0$.

Вспомним определения видов углов:
- Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
- Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$.
- Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$.

Докажем, что в любом треугольнике может быть не более одного угла, который не является острым (то есть прямого или тупого). Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что в треугольнике существует два угла, которые не являются острыми. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что каждый из них либо прямой, либо тупой, то есть их градусная мера не меньше $90^\circ$:

$\alpha \ge 90^\circ$ и $\beta \ge 90^\circ$.

Сложим эти два угла:

$\alpha + \beta \ge 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому для третьего угла $\gamma$ мы можем записать:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Так как мы установили, что $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то для угла $\gamma$ получаем:

$\gamma \le 180^\circ - 180^\circ = 0$.

Получилось, что угол $\gamma$ меньше или равен нулю ($\gamma \le 0$), что противоречит основному свойству углов треугольника (любой угол должен быть больше нуля). Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Таким образом, в треугольнике не может быть двух (или более) прямых или тупых углов. Это означает, что в любом треугольнике по крайней мере два угла являются острыми.

Теперь рассмотрим, каким может быть третий угол, зная, что два других — острые. Есть две возможности:

1. Третий угол также является острым. В этом случае все три угла треугольника острые.

2. Третий угол не является острым. Это означает, что он либо прямой, либо тупой. В этом случае в треугольнике два острых угла, а третий — прямой или тупой.

Эти два случая являются взаимоисключающими и охватывают все возможные варианты для любого треугольника. Следовательно, утверждение полностью доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.