Номер 8, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 8, страница 88.

Условие.

8 Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Это утверждение является признаком равнобедренного треугольника, обратным свойству углов при основании равнобедренного треугольника. Докажем его.

Дано:
Дан треугольник $ABC$, в котором два угла равны, например, $\angle A = \angle C$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть стороны, противолежащие равным углам, равны: $AB = BC$.

Доказательство:

1. Проведем из вершины $B$ биссектрису $BD$ к стороне $AC$. По определению, биссектриса делит угол пополам, следовательно, $\angle ABD = \angle CBD$. Биссектриса $BD$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

2. Рассмотрим полученные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Нам известно, что:

• $\angle A = \angle C$ (по условию задачи).
• $\angle ABD = \angle CBD$ (по построению, так как $BD$ — биссектриса).
• $BD$ — общая сторона для обоих треугольников.

3. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем третьи углы в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$:

• В $\triangle ABD$ угол $\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD$.
• В $\triangle CBD$ угол $\angle CDB = 180^\circ - \angle C - \angle CBD$.

Поскольку из предыдущих пунктов мы знаем, что $\angle A = \angle C$ и $\angle ABD = \angle CBD$, правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части: $\angle ADB = \angle CDB$.

4. Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

• Сторона $BD$ — общая.
• Прилежащий угол $\angle ADB$ равен прилежащему углу $\angle CDB$.
• Прилежащий угол $\angle ABD$ равен прилежащему углу $\angle CBD$.

Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

5. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ADB$. Сторона $BC$ в $\triangle CBD$ лежит напротив равного ему угла $\angle CDB$. Таким образом, $AB = BC$.

Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным по определению. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие против этих углов, также равны, и, следовательно, треугольник является равнобедренным.