Номер 12, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 12, страница 88.

Условие.

12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка признака

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ с прямым углом $ C $ ($ \angle C = 90^\circ $) и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с прямым углом $ C_1 $ ($ \angle C_1 = 90^\circ $).

Дано:
$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — прямоугольные,
$ AB = A_1B_1 $ (гипотенузы),
$ \angle A = \angle A_1 $ (острые углы).
Доказать:
$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов равен $ 90^\circ $, сумма двух его острых углов равна $ 90^\circ $.

В треугольнике $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle A + \angle B = 90^\circ $, откуда $ \angle B = 90^\circ - \angle A $.

В треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $ имеем: $ \angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ $, откуда $ \angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1 $.

Так как по условию $ \angle A = \angle A_1 $, то из предыдущих равенств следует, что $ \angle B = \angle B_1 $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. В них сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:
1. $ AB = A_1B_1 $ (по условию, как равные гипотенузы),
2. $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию, как равные острые углы),
3. $ \angle B = \angle B_1 $ (по доказанному выше).

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу формулируется так: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Доказательство основано на том, что, зная один острый угол в прямоугольном треугольнике, можно найти второй ($ 90^\circ $ минус известный острый угол). Таким образом, мы получаем равенство стороны (гипотенузы) и двух прилежащих к ней углов, что позволяет применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).