Номер 17, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 17, страница 89.

Условие.

17 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, то есть $a \parallel b$.

Доказать:

Нужно доказать, что все точки прямой $a$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $b$, и все точки прямой $b$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$.

Доказательство:

Рассмотрим первую часть утверждения: докажем, что все точки прямой $a$ равноудалены от прямой $b$.

1. Выберем на прямой $a$ две произвольные точки $A_1$ и $A_2$.

2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точек $A_1$ и $A_2$ перпендикуляры на прямую $b$. Пусть основаниями этих перпендикуляров будут точки $B_1$ и $B_2$ соответственно. Таким образом, по построению $A_1B_1 \perp b$ и $A_2B_2 \perp b$. Длины отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ являются расстояниями от точек $A_1$ и $A_2$ до прямой $b$. Нам нужно доказать, что $A_1B_1 = A_2B_2$.

3. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2B_1$.

4. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то отрезки $A_1A_2$ и $B_1B_2$, лежащие на этих прямых, также параллельны: $A_1A_2 \parallel B_1B_2$.

5. По построению мы имеем $A_1B_1 \perp b$ и $A_2B_2 \perp b$. По свойству, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

6. В четырехугольнике $A_1A_2B_2B_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$ и $A_1B_1 \parallel A_2B_2$). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.

7. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $A_1B_1 = A_2B_2$.

8. Так как точки $A_1$ и $A_2$ были выбраны на прямой $a$ произвольно, это означает, что любая точка прямой $a$ находится на одинаковом расстоянии от прямой $b$.

Аналогично, выбрав две произвольные точки на прямой $b$ и опустив из них перпендикуляры на прямую $a$, можно доказать, что все точки прямой $b$ равноудалены от прямой $a$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой является постоянной величиной.