Номер 22, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 22, страница 89.

Условие.

22 Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Решение 4.

Решение 10.

Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.

Пусть даны три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$, которые будут сторонами искомого треугольника. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений).

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин треугольника.
2. С помощью циркуля измеряем длину одного из отрезков, например $c$. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу, которая пересечет прямую в точке $B$. Отрезок $AB$ — первая сторона треугольника с длиной $c$.
3. Измеряем циркулем длину второго отрезка, $b$. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом $b$. Третья вершина треугольника, $C$, должна лежать на этой дуге.
4. Измеряем циркулем длину третьего отрезка, $a$. Устанавливаем острие циркуля в точку $B$ и проводим дугу окружности радиусом $a$. Третья вершина $C$ должна лежать и на этой дуге.
5. Точка пересечения двух дуг, построенных в шагах 3 и 4, и будет третьей вершиной треугольника. Назовем её $C$. (Обычно получается две точки пересечения, симметричные относительно прямой $AB$. Можно выбрать любую из них).
6. С помощью линейки соединяем точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как его стороны имеют заданные длины: $AB = c$, $AC = b$ и $BC = a$.

Ответ: Построение выполняется путем последовательного откладывания отрезков с помощью циркуля и линейки. Сначала на прямой строится одна сторона. Затем из ее концов как из центров проводятся две дуги окружностей, радиусы которых равны длинам двух других сторон. Точка пересечения этих дуг является третьей вершиной треугольника.

Всегда ли эта задача имеет решение?

Нет, эта задача имеет решение не всегда. Для того чтобы из трех отрезков с длинами $a$, $b$ и $c$ можно было построить треугольник, необходимо, чтобы для них выполнялось неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны.

Математически это условие записывается в виде системы из трех неравенств:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то треугольник построить невозможно. С точки зрения геометрии построения это означает, что две дуги окружностей, которые мы строили, не пересекутся (если сумма длин двух сторон меньше третьей) или пересекутся в точке, лежащей на отрезке, соединяющем их центры (если сумма длин двух сторон равна третьей). В последнем случае получается так называемый вырожденный треугольник, который представляет собой отрезок прямой.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, если выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух из трех заданных отрезков должна быть больше длины третьего отрезка.