Номер 21, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Вопросы к главе 4 - номер 21, страница 89.

Условие.

21 Объясните, как построить треугольник:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение 4.

Решение 10.

а) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$, и угол $\alpha$. Для построения треугольника $ABC$ со сторонами $AB=a$, $AC=b$ и углом между ними $\angle BAC = \alpha$, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке $A$.
2. На этом луче отложить с помощью циркуля отрезок $AC$, равный по длине стороне $b$.
3. От луча $AC$ построить угол, равный данному углу $\alpha$. В результате получится второй луч $AM$ с началом в точке $A$.
4. На луче $AM$ отложить с помощью циркуля отрезок $AB$, равный по длине стороне $a$.
5. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки.

Построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению $AC = b$, $AB = a$ и $\angle BAC = \alpha$. Это построение соответствует первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Построение выполняется путем последовательного откладывания одной из сторон, затем построения заданного угла от этой стороны и, наконец, откладывания второй стороны на другом луче, образующем построенный угол. Соединение конечных точек построенных сторон дает искомый треугольник.

б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть дан отрезок, длина которого равна $c$, и два угла $\alpha$ и $\beta$. Для построения треугольника $ABC$ со стороной $AB=c$ и прилежащими к ней углами $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$, необходимо выполнить следующие шаги. Важно отметить, что такое построение возможно только в том случае, если сумма данных углов меньше $180^\circ$ ($\alpha + \beta < 180^\circ$), иначе стороны углов не пересекутся (если сумма равна $180^\circ$, они будут параллельны) или разойдутся.

1. Начертить произвольную прямую и отложить на ней с помощью циркуля и линейки отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ в одной полуплоскости построить угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Получим луч $AM$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости построить угол, равный данному углу $\beta$, с вершиной в точке $B$. Получим луч $BN$.
4. Лучи $AM$ и $BN$ пересекутся в одной точке, так как $\alpha + \beta < 180^\circ$. Обозначим эту точку пересечения $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его сторона $AB$ равна $c$, а углы, прилежащие к этой стороне, $\angle CAB$ и $\angle CBA$, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Это построение соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Построение выполняется путем откладывания данной стороны, а затем построения от ее концов в одной полуплоскости двух данных прилежащих углов. Точка пересечения лучей, являющихся сторонами этих углов, будет третьей вершиной искомого треугольника.